流函数

编辑:豆沙网互动百科 时间:2019-11-18 19:32:47
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满足连续方程的一个描述流速场的标量函数。
中文名
流函数
外文名
stream function

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流函数定义

流函数是流体力学中同连续性方程相联系的一个标量函数,它在流体平面运动和轴对称运动中有重要应用。不可压缩流体和定常可压缩流体的连续性方程可写成(1)式 。式中 v 为速度矢量;ρ为流体密度;ν=0和ν=1分别对应于不可压缩流体和定常可压缩流体情形。由方程(1)容易看到存在着矢势B,使(2)成立:
式中B称为广义流函数。在平面运动和轴对称运动这两种特殊情形下,B只有一个非零分量,如果引进流函数将来以一个函数代替两个速度分量函数的好处。在平面运动情形下连续性方程在直角坐标系中可以写成如下的形式:
式中uv为速度矢量在x、y轴方向上的分量。由此推出存在流函数Ψ,使得:
显然,此时有B=(0,0,Ψ),Ψ称为平面运动的流函数。在轴对称运动中,取柱坐标系(r,φ,z)和球坐标系(r,φ,θ),连续性方程可分别写为:
式中vr、vz和vr、vθ分别为速度矢量在柱坐标r、z轴上和球坐标系r、θ轴上的分量。由式(3)推出存在着流函数Ψ,使得:容易验证,此时矢势具有下列形式:

流函数性质

Ψ称为轴对称运动的流函数,也称为斯托克斯流函数。对于不可压缩流体,流函数具有下列四个性质:
①Ψ可加上任一常数而不影响对流体的运动的描述。
②Ψ为常数的曲面是流面。
③在Oxy平面上或θ=π/2的平面上取一曲线弧AB,则通过以AB为底、高为单位的曲面(平面情形)或通过以AB为母线的旋转曲面(轴对称情形)的流量Q与流函数在A、B两点上的值ΨA和ΨB之间存在如下关系:
Q=(2π)(ΨB-ΨA),
式中v=0和v=1分别对应于平面和轴对称情形。
④在单联通区域内若不存在源、汇(见源流、汇流),则流函数Ψ是单值函数。若单联通区域内有源,汇或在多联通区域内,则Ψ一般是多值函数。
如果不可压缩流体的运动是无旋的,则▽×v=0。在直角坐标系中无旋条件给出
,由此推出,流函数Ψ满足拉普拉斯方程△Ψ=0,因而是调和函数。在柱坐标系和球坐标系中,无旋条件要求:
于是Ψ满足下列方程:DΨ=0,式中D为广义斯托克斯算符,它在柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为:

流函数总结

1、对于不可压缩流的二维流动,无论是有旋流动还是无旋流动,流体有粘性还是没有粘性,一定存在流函数。在三维流动中一般不存在流函数(轴对称流动除外)。
2、对于不可压缩流体的平面流动,流函数永远满足连续性方程
3 流函数都有各自的常数值,流函数的等值线就是流线。
4、对于不可压缩流体的平面势流,流函数满足拉普拉斯方程,流函数也是调和函数。
5、平面流动中,通过两条流线间任意一曲线(单位厚度)的体积流量等于两条流线的流函数之差,与流线形状无关。

流函数参考文献

1.词条作者:吴望一 《中国大百科全书》74卷(第二版)物理学 词条:流体力学 :中国大百科全书出版社 2009-07 :327-328页
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中国力学学会 自然学科 科技 理学